A la ecuacin 2 se estila llamar solucin general de la ecuacin 1. Segn hemos visto ya al inicio de este apartado, esta sucesin queda perfectamente determi- nada si se indican sus dos primeros trminos 1 y 2. Busquemos los valores de c 1 y c 2 de modo que sea c 1. El sistema de ecuaciones 4 tiene solucin respecto a c 1 y c 2 en virtud de la proposicin 3. Es decir, para describir todas las soluciones de la ecuacin 1 basta encon- trar dos soluciones no proporcionales de la misma.
Encontremos estas soluciones entre las progresiones geomtricas. De acuerdo al lema 3. Tomemos la progresin 1, r, r 2 ,. Llammoslas por c y ,, respectivamente.
As hemos encontrado dos progresiones geomtricas, soluciones ambas de 1. Adems las progresiones encontradas tienen distintas razones y, por ende, no son proporcionales, esto es, la frmula 6 debe coincidir con la sucesin de Fibonacci.
El nmero de Fibonacci n es el entero ms prximo al nmero o n 2 p 5 , o sea, es el entero ms prximo al n-simo trmino a n de la progresin geomtrica cuyo primer trmino es o 2 p 5 y cuya razn es c. Basta demostrar que el valor absoluto de la diferencia entre. Estudiaremos algunas propiedades sobre la divisibilidad, mximo comn divisor y otras caracterizaciones aritmticas de los nmeros de Fibonacci.
Probar la vlidez de la siguiente frmula para los nmero de Fibonacci. Si : es divisible por :, tambin n es divisible por n. El segundo sumando es mltiplo de n , esto es, tambin es divisible por n segn la hiptesis inductiva.
Que era lo que queriamos demostrar. Los nmeros de Fibonacci consecutivos son coprimos. Anlogamente se demuestra haciendo induccin! Por tanto los nmero n y.
Luego por teorema 2. Las expresiones del tipo 1 se denominan fracciones continuas y el proceso de conversin de un nmero en una fraccin continua se denomina desarrollo en fraccin continua. Aprendamos cmo obtener los cocientes incompletos de este desarrollo para el caso de una fraccin ordinaria o b. Los concientes incompletos correspondientes de dos fracciones continuas iguales, son iguales Demostracin. Tomemos dos fracciones continuas c y c 0.
Ahora bien, podemos representar las fracciones continuas c y c 0 en la forma. Pero en tal caso son iguales las partes enteras de los nmeros c 1 y c 0 1 , o sea, 1 y 0 1. Consideremos los nmeros. Pero los numeradores y los denominadores de dos fracciones irreducibles iguales son iguales. Por lo tanto, el segundo miembro de 4 es irreducible de modo que 4 es una igualdad entre dos fracciones irreducibles.
Sea c n la fraccin continua de : cocientes incompletos iguales a 1. Podemos escribir entonces c 1 , c 2 , c 3 ,. Calculemos este lmite Por el teorema 3. Fibonacci en la Naturaleza. Fibonacci y los vegetales: El ejemplo que quizs sea el ms sencillo, es el caso de la orientacin de las espirales en una pia, si contamos las espirales en un sentido y luego en el otro sentido encontramos los nmeros 8 y 13 en otras especies aparecen 5 y 8, en ambos casos nmeros de Fibonacci consecutivos.
Fibonacci y los animales: Adems del ya mencionado problema de los conejos, tambin encontramos nmeros de Fibonacci en el rbol genealgico de las abejas machos.
En toda colmena existe una abeja hembra llamada reina, que es la nica capaz de producir huevos. Las abejas obreras tambin son hembras, pero no producen huevos, solo trabajan. En la colmena tambin exis- ten abejas machos, que no trabajan y su nica funcin es aparear a la reina znganos. Estos provienen de huevos de la abeja reina no fertilizados, y por lo tanto tienen madre, pero no tienen padre, por lo que l 1 tiene una madre 1, 1 , dos abuelos los padres de la reina 1, 1, 2 , tres bisabuelos -por que el padre de la reina no tuvo padre- 1, 1, 2, 3 , cinco tatarabuelos, 1, 1, 2, 3, 5 62 y ocho tataratatarabuelos, 1, 1, 2, 3, 5, 8 , en denitiva sigue estrictamente la sucesin de nmeros de Fibonacci.
En las dimensiones del hombre. La relacin entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo. La relacin entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos. La relacin entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla. Calclese los primeros 50 nmeros de Fibonacci. Prubese el lema 3. Encuntrese una expresin que de la suma para los nmeros de Fibonacci de ndices impares y prubese su validez para todo :.
Prubese que para los nmeros de Fibonacci es vlida la igualdad siguiente. Prubese el siguiente teorema. Cualquiera que sea el nmero entero :, entre los : 2 1 primeros nmeros de Fibonacci habr al menos uno divisible por :. Calclese el mcd para los siguientes conjunto de nmeros 7 , 9 , 5 , 15 , 4 , 7 , 9 , 21,. Demustrese los siguientes criterios de divisibilidad para nmeros de Fi- bonacci 6.
Considrese los nmeros primos de Fibonacci, con ndices mayor a 3, qu puede decirse de los ndices? Desarrllese en fracciones continuas los siguientes nmeros racionales 22 7 4 9. Calclese las primeros 5 trminos de la sucesin de Fibonacci usando la frmula de Binet y prubese que sta es vlida para todo :. Un saltador puede desplazarse en una sla direccin a lo largo de una franja cuadriculada saltando cada vez a la casilla inmediata o por encima de ella a la siguiente. Thomas Carlyle En este apartado estudiaremos las funciones ms importantes de la teora de nmero; daremos sus deniciones, algunas aplicaciones y su importancia en la aritmtica.
Una funcin real o compleja denida sobre los enteros posi- tivos se llama una funcin aritmtica o una funcin de teora de nmeros. Empezaremos con la funcin parte entera que ya antes habamos mencionado en el captulo 2. Sea r y j nmeros reales. Entonces se tiene que a. Si dos enteros son igualmente prximos a r, es el mayor de los dos. A modo de ejemplo, veamos una aplicacin para el teorema anterior Probar que :! Para hacerlo debe demostrarse que todo nmero primo divide al numerador para la pontencia ms alta que divide al denominador.
Aplicando el teorema 2. En la expresin. Particularizando el teorema 4. La funcin indicatriz de Euler , :. Jjn j d : d Demostracin. Ahora utilizaremos el teorema 4. Lo que demuestra el teorema. Acontinuacin tenemos una expresin que conecta a , : y a los divisores primos de :.
Suponemos, entonces, que : 1 y que j 1 , j 2 ,. El producto se puede escribir. El numerador 1 es claramente j d. As podemos escribir entonces :. La indicartiz de Euler cumple con las propiedades siguientes: a. Si :[: entonces , : [, : d. Adems, si : posee r factores primos impares distintos, entonces 2 : [, : Demostracin. Ahora el resultado se obtiene por induccin sobre :. Suponemos, pues, que c se verica para todo entero menor que :.
Por lo que el segundo miembro de , es un mltiplo de , : , es decir, , : [, :. Lo que prueba c. Ahora probaremos la parte d. Adems, cada primo impar proporciona una factor 2 a este producto, por lo tanto 2 : [, : , si : tiene r factores primos impares distintos.
Cul es la mayor potencia de 2 que divide a !? La mayor potencia de 3? Sumando se encuentra que 2 [! Sumando estos resultados, encontramos 3 [!. Si se escribe ! Es suciente con calcular la mayor potencia de 10 que divide a De estos habr que tomar el menor porqu? Observe que todos los primos que guran en el producto ::, tambin aparecen en la descomposicin cannica de : y :. Supongamos : 1. Para qu nmeros reales r es verdad que a.
Encuntrese la mayor potencia de 13 que gura en ! Calclese , , , , , 16 5. Caractercese el conjunto de enteros positivos que satisfacen , 2: , : 8.
Calclese Jj , d 9. Para cada proposicin establzcase una demostracin o presentar un con- traejemplo 9. Carl Friedrich Gauss De aqu en adelante trataremos la aritmtica desde una nueva perspectiva, la aritmtica modular.
Introduciremos la congruencia mdulo n, las ecuaciones de congruencias, los sistems de congruencias y dems. Estudiaremos tambin en este captulo los resultados sobre congruencias ms importantes, el teorema chino del resto y el pequeo teorema de Fermat y sus aplicaciones prcticas.
Hemos dado en realidad tres deniciones sobre congruencia mdulo :, la ventaja radica en el contexto de su uso, segn convenga podemos usar una u otra denicin. En la primera lo hacemos en virtud de la divisibilidad, en la segunda decimos que dos nmeros son congruentes, si las clases a las que pertenecen son iguales, y nalmente decimos que dos nmeros son congruentes si dejan el mismo resto en la divisin por :.
La congruencia mdulo : es una relacin de equivalencia. Clase de equivalencia del elemento a o es el conjunto de todos los elementos de o equivalentes a a. Luego decimos que Z queda particionado en clases de equivalencias. Como los subndices de cada clase son los posibles restos de la divisin por :, las llamamos clases de restos mdulo : y se estila escribirlas as 0, 1, 2, 3, 4. La congruencia mdulo : es compatible con la adicin y la multiplicacin en Z. Es decir a. Construiremos la tabla para Z 4 de la suma y el producto.
Por tanto []. En consecuencia j debe ser primo. Sea [:] n un elemento no nulo de Z. Por el torema 2. Construiremos las tablas para la suma y el producto de Z 5 , con el n de evidenciar que todo elemento no nulo es inversible. Criterios de divisibilidad y la congruencia mdulo n. Ejemplo 1. Divisibilidad por 9. Un entero : 0 es divisible por 9 si, y slo si, la suma de los dgitos de su expresin decimal es divisible por 9.
Probaremos este hecho usando la congruencia y sus propiedades ya enunciadas. Ejemplo 2. Divisibilidad por Un entero : 0 es divisible por 17 si, y slo si, al quitar sus dos ltimas cifras y restarlas del duplo de lo que queda, el resultado es mltiplo de Sin prdida de generalidad, consideremos un nmero : de 4 cifras.
Ley de simplicacin. Suponiendo d 0. En otras palabras, los nmeros que son congruentes mdulo : tienen el mismo mcd con :. Todo conjunto formado de : enteros, incongruentes mod:, es un sistema completo de restos mod:.
As, 8, 9, 10, 11 es un sistema completo de resto mod4; puesto que 8 0, 9 1, 10 2 y 11 3. Un sistema reducido de restos mdulo : es todo conjunto de enteros r 1 , r 2 ,. Nota: , : es el valor para : de la indicatriz de Euler, introducida en el captulo 4. Puesto que en este conjunto existen : elementos incongruentes, constituye un sistema completo de resto. Toda la discusin anterior ha sido necesaria para llegar a uno de los resulta- dos ms importantes de la teora de congruencias. Los teoremas de Euler-Fermat 5.
Terorema de Euler. Pequeo Teorema de Fermat. Considrese que j denota un primo. Dos congruencias, a las que satisfacen un mismo valor de r, se llaman congruencias equivalentes. El caso de las congruencias lineales quedar totalmente descrita mediante los tres teoremas siguientes. Para la solucin principal debe considerarse nicamente los nmeros 1, 2, 3,. Por consiguiente formamos los productos a, 2a,.
Es decir, existe un nico r que satisface 2. Cada solucin de 6 es tambin solucin de 3 , recpro- camente cada solucin de 6 satisfase 3. Falta probar que 3 no tiene ms soluciones que las descritas en 5. Esto termina la demostracin. A este hecho responde el siguiente teorema 5. Teorema Chino del Resto. Adems el sistema posee una nica solucin mdulo. Entonces para obtener las soluciones pedidas recorremos : para 1, 2, 3, 4 y 5 obteniendo los valores buscados para r, que guran a continuacin 24, 41, 58, 75, 92 2.
Mostrar un sistema completo de residuos mdulo 17 compuesto enteramente de mltiplos de 3. Si seguimos este razonamiento y recordando que si dos nmeros dan el mismo resto pertenecen a la misma clase; encontramos el siguiente sistema completo de residuos mdulo 17 0, 18, 36, 54, 21, 39, 6, 24, 42, 9, 27, 45, 12, 30, 48, 15, 33 3. Los nmeros de Fermat.
Probar que esta aseveracin es falsa. Consideremos la sucesin de potencias 2 2 n mdulo Encuentre el residuo cuando 17 17 es dividido por 7.
Pruebe que 2 37 1 es un mltiplo de Encuentre el resto de la divisin 1! Por otra parte 1! Hallar los nmeros tales que, divididos por 2, 3, 4, 5 y 6 den como resto, 1, 2, 3, 4 y 5 respectivamente. Encuentre el residuo cuando 13 12 45 es dividido por Encontrar todas las soluciones para a.
Por el teorema 5. El primer grupo de nmeros indica el pas o el idioma, el segundo grupo de dgitos designa la editorial, el tercer grupo es asig- nado al libro por la casa editorial y el ltimo dgito es un factor de comprobacin de errores.
Pero la determinacin de este ltimo dgito se hace de una manera muy peculiar, no se asigna al producto bajo algn criterio exclusivo como los ante- riores, este dgito que denominaremos r se calcula a partir de los restantes.
El cdigo ISBN detectar todos los errores simples y de transposicin, ac- tualmente cualquier programa profesional que trabaje con el ISBN utiliza las congruencias para determinarlo. El ordenador comprueba si el nmero intro- ducido por el usuario con el escner coincide con el calculado por el [ordenador] mismo, si esto no es as entonces existe algn error.
Escrbase las tablas de adicin y mltiplicacain para Z 7 y Z 8. Encuntrese y ennciese un crterio de divisibilidad para 3, 5 y 7 para cada uno 3. Demustrese la igualdad del estudiante. Hllese las ltimas dos cifras del nmero 7 7 7 7 7.
Calclese el residuo que se obtiene al dividir entre Mustrese un sistema reducido de residuos mdulo 7 compuestos enteramente por potencias de 3. Prubese que : 7 1 es divisible entre 42, para cualquier entero :. Encuntrese el menor residuo positivo de : Mdulo 13 Encuntrese todas las soluciones de Teorema de Wilson.
Si j es un primo, entonces j 1! Para cualquier primo j, si a. Demustrese que la suma de los cuadrados de cinco nmeros enteros con- secutivos, no puede ser nunca un cuadrado perfecto. La suma de las cifras de un nmero es Si de ese nmero se resta y se divide la diferencia por 2 se optiene por resultado el nmero formado por las cifras del primero escritas en orden inverso.
Encuntrese el nmero. Edgar Allan Poe. En esta seccin nos ocuparemos del conocido ltimo teorema de Fermat. Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario introducir los nmeros complejos.
Un nmero complejo. Decimos que a es la parte real de. Dos nmeros complejos son iguales si y slo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales. Es decir, si. Operaciones en C. Complejo Conjugado. Conjugado de. El smbolo. Mdulo de un complejo es la raz cuadrada no negativa de la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria. Esto es [. Se llama anillo unitario a un anillo cuyo producto tiene elemento neutro en.
Dicho elemento se denomina uno y se representa por 1. Sea un anillo unitario. Sea un anillo. Se llama divisor de cero a un elemento r. Se llama dominio de integridad a un anillo unitario y con- mutativo sin divisores de cero. El conjunto Z[i] , bajo la adicin y multiplicacin habituales de C forma un dominio de integridad. Z[i] ; 1. Finalmente es claro que Z[i] no tiene divisores de cero, puesto que si hubiese tendriamos que. Se dice que es un dominio eucldeo 11 si existe una aplicacin : tal que: i.
Si r, j. Z[i] es un anillo eucldeo, con. Es claro que si. Ahora, si. Para terminar el teorema procedemos como sigue. Sean r, j Z[i]. Se dice que. Z[i] es: i. Un mximo comn divisor :cd de r, j si. Un mnimo comn mltiplo :c: de r, j si.
Un elemento primo es un elemento en Z[i] que no puede ser factorizado en Z[i] en forma que no sea trivial. Si es un elemento primo en el anillo eucldeo Z[i] y [. Factorizacin nica. Sea Z[i] el anillo eucldeo y. Supongamos que. Por la proposicin 7.
Repitiendo el razonomiento sobre esta relacin 2 , y as sucesivamente, despus de : pasos el primer miembro se hace 1, y el segundo un producto de un cierto nmero de 0 el exeso de : sobre :. Y a lo largo del proceso demostrativo hemos probado tambin que cada uno de los I tiene algn 0.
Al combinar la proposicin 7. Un dominio de factorizacin nica 11l es un dominio de integridad en el que se cumplen i. Todo elemento irreducible es primo ii. Todo elemento que no sea unidad es producto de elementos irreducibles. Ntese que como Z[i] es un anillo eucldeo y por teorema 7.
Diofanto trat en su Aritmtica el problema de encontrar ternas de nmeros naturales no nulos r, j,. Estas son llamadas pitagricas porque segn el teorema de Pitgoras permiten construir tringulos rectngulos con lados enteros. Primeramente consideremos la terna r, j,. Una terna cuyo mcd es 1 se llama primitiva. Si encontramos un mtodo para encontrar las ternas primiti- vas, las restantes se obtienen multiplicndolas por nmero arbitrarios, luego el problema estar resuelto.
Observemos que un divisor primo de dos de las componentes de una terna pitagrica, divide a la tercera. Por ejemplo, j[. Esto signica que, en realidad, las componentes de una terna pitagrica primitiva son primas entre s dos a dos, ntese que adems es cierto que, en una terna pitagrica hay siempre dos componentes impares y una par.
Ahora veamos que. Segn lo dicho. As tenemos que. En consecuencia la terna original queda de la forma r, j,. Por lo tanto ya sabemos enumerarlas todas. Si dividimos r, j,. Si el producto de dos nmeros naturales coprimos es un cuadrado, entonces ambos son cuadrados, pues cada uno de ellos debe tener cada factor primo con exponente par.
En resumen, si existe una terna de nmeros positivos r, j,. Si existieran tales ternas debera haber una con. No exiten enteros positivos r, j,. Supongamos que existen nmeros r, j,. Dividindolos entre su mcd podemos suponer que son primos entre s y, al cumplir la ecuacin deben ser primos dos a dos.
Es claro que a lo sumo uno de los tres puede ser par, pero si r e j son impares. Por simetra podemos suponer que r e j son impares. Cambiando el signo de r, j,. Resumiendo, si existe una solucin r, j,. Supongamos que es as. Ahora usaremos un resultado que posteriormente probaremos. Nuestro objetivo es encontrar una solucin de la ecuacin de Fermat con.
As podremos concluir que no pueden existir tales soluciones ya que no puede haber una mnima. Hemos de reordenar la terna n, , n para dejar en tercer lugar la componente par. Como n 3. Falta llegar a la misma conclusin si 3[j. Luego hemos encontrado una terna menor que r, j,. Para nalizar probaremos la proposicin 7. Prubese el teorema 7.
Demustrese que uno de los nmeros pitagricos correspondientes a estas ternas debe ser mltiplo de 3. Teniendo como nalidad presentar una breve semblanza de algunas estructuras algebraicas y as poder situar al lector en una posicin ms comoda a la hora de realizar la lectura del documento.
Sea un conjunto no vaco. La denicin que acabamos de dar, es la formalidad para una operacin binaria. Las operaciones de suma y producto entre nmeros constituyen los ejemplos naturales de leyes de composicin. Se denomina Semigrupo a todo monoide cuya ley de com- posicin es asociativa. En otras palabras, r, j,. Esto es i. Primer elemento. El elemento a se llama primer elemento si y slo si precede a todos los dems. Elemento mnimo. Elemento mximo. Este trabajo es un estudio y una recopilacin de las principales deni- ciones, propiedades y teoremas que corresponden a un curso clsico de teora de nmeros, desarrollados en nivel universitario de nuestro pas.
A lo largo de la construccin de este trabajo, abordamos los nmeros enteros naturales y sus propiedades de divisibilidad que bsicamente es lo fundamental en la teora de nmeros, sin embargo tambin tratamos la solucin de un tipo particular de ecuacin, a saber las ecuaciones diofnticas y adems vimos la divisibilidad desde la perspectiva de la congruencia; intentando mostrar todo esto desde una ptica ms amigable en cuanto a contenido y tratamiento didc- tico de la teora.
Adems, hemos incluido algunas secciones atractivas donde se muestran algunas aplicaciones para los resultados mostrados. Todo esto lo hemos hecho con el objetivo de contribuir a la formacin de estudiantes universitarios que tienen que enfrentar este tipo de cursos, puesto que el n de este tratado es ser usado como un dispositivo didctico que facilite la comprensin de la teora, como medio de consulta y ejercitacin y como material de divulgacin en general.
Sin embargo las matemticas crecen a un nivel acelerado y la teora de nmeros no es la excepcin, por tal razn la contribucin de este material es muy modesta, as teniendo esto presente instamos a estudiantes a profundizar en el estudio e investigacin de esta rama de las matemticas, y a instituciones universitarias y tcnicas a modernizar sus programas de estudios para abordar dichos aspectos.
Tom M.. Introduccin a la teora analtica de nmeros. Editorial Revert, S. A, Carl B. Historia de la matemticas. Tercera reimpresin, Alianza Universidad Textos.
Madrid Burton W. Teora de los nmeros. Primera edicin en espaol, marzo Editorial Trillas, S. Mxico, D. Gentile Enzo R. Aritmtica Elemental. Programa regional de desarrollo cientco y tecnolgico. Washington, D. Edicin Original Grupo Editorial Iberoamricana, S. Estados Unidos. Niven y Zuckerman. Introduccin a la teora de los nmeros. Editorial Limusa, Rbnikov K. Historia de las matemticas.
Traduccin al espaol, editorial Mir, Mosc Richman Fred. Number Theory: An introduction to algebra. Belmont, California. Rojo Armando O. Algebra I. Sptima edicin.
Editorial El ateneo, Ar- gentina. Sominski I. Lecciones populares de matemticas, Mtodo de Induccin matemtica.
Segunda edicin Editorial Mir, Mosc. Ntese que no necesariamente nos debe quedar 1 en la sumatoria. Lo que nos indica el P 1 es que debemos ver si es cierta para el primer trmino. As entonces, usamos lo que queremos ver si es cierto en el nico miembro de la izquierda de nuestra ecuacin. Luego aplicando propiedades de la sumatoria, podemos descomponer la sumatoria en partes y dejar lo que sabemos que es cierto, separado de lo que se puede aplicar por definicin.
Sabemos que es cierto para n, por lo tanto el primer miembro del lado derecho lo podemos sustituir, mientras que al segundo miembro slo aplicamos la definicin de sumatoria. Luego, sumando las fracciones y agrupando, concluimos que el primer miembro del lado izquierdo de nuestra ecuacin, se puede expresar como lo que queremos demostrar. En lgica matemtica y lgica proposicional, una demostracin es una secuencia finita de frmulas lgicas bien formadas: F 1.
Desde el punto de vista de los lenguajes formales el conjunto de teoremas demostrables coincide con el conjunto de secuencias de frmulas bien formadas sintcticamente bien formadas. Estos dos casos se llaman Universal y Particular o Existencial. As por ejemplo si tenemos que la frmula es T x donde T representa es alumno del ITT y x representa un alumno de Tijuana, la frmula x T x es falsa pues sabemos que hay alumnos en Tijuana que son del ITT. As por ejemplo en el mismo caso del anterior la expresin - x T x es verdadera pues sabemos que s es verdad que al menos un estudiante es alumno del ITT.
Hay expresiones dentro del espaol que son muy utilizadas como por ejemplo, todos los alumnos son estudiosos, todos los hombres son mortales o todos los alumnos de computacin estudian lgica. En este caso estamos tomando una parte del dominio para establecer un caracterstica universal, esto se puede hacer mediante la combinacin de dos predicados de una variable conectados mediante una condicional y tomando el cuantificador universal.
As por ejemplo: todos los alumnos son estudiosos se puede representar mediante x A x E x donde el predicado A significa alumno, E estudioso y x es un elemento de un dominio general que podra ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado. Por ejemplo podran ser todas las personas que viven en Tijuana. Aqu podemos ver claramente que el dominio juega un papel preponderante, ya que en un conjunto todos los alumnos podran ser estudiosos y si cambiamos el conjunto puede ser que ya no sea verdad.
Todos los hombres son mortales se puede representar por x H x M x donde H es hombre y M el predicado mortal. Todos los pericos son verdes es: x P x V x con P, perico y V verde. A una expresin como las anteriores se le llama Universal Afirmativa y se representa con la letra A.
Los griegos utilizaban enunciados como los anteriores en los Silogismos, que son formas de razonamiento que contienen dos premisas tipo A, E, I, O y una conclusin tambin de uno de los cuatro tipos, las premisas estn conectadas con un predicado comn y la conclusin debe estar formado por las no comunes que se le llaman tcnicamente premisa menor y premisa mayor.
Una expresin tipo E es llamado Universal Negativa y se representa por x P x Q x y en espaol se lee ningn P cumple Q o sea que los que cumplen el predicado P x no cumplen el predicado Q x. Ningn alumno lleg tarde se puede representar por x A x T x donde A es alumno y T es lleg tarde. Las dos expresiones restantes corresponden a casos particulares y para formarlas utilizamos el cuantificador existencial, y en lugar del operador condicional se usa la conjuncin, as es -x P x.
Q x llamado Particular Afirmativa y O es -x P x. Q x que es la Particular Negativa. En el primer caso se indica un elemento que cumple las dos condiciones dadas por los predicados y en el segundo aseguramos que hay un elemento que cumple la primera condicin pero no la segunda. Una manera muy simple de combinar estas expresiones mediante una propiedad es utilizando la negacin, pues dos de ellas son las negaciones de la otras dos, de ah sus nombres de afirmativas y negativas.
Primeramente estableceremos dos reglas generales con un predicado simple: Propiedad: x P x es equivalente a -x P x -x P x es equivalente a x P x Ahora s, podemos combinar estos dos resultados con las Universales y Particulares Afirmativas y Negativas y tenemos lo siguiente.
O sea que la negacin de la forma A es la forma O y la negacin de la forma es la forma E. Q x De una manera ms simple lo que dice la primera frmula es que la negacin de Todos es Alguno No y que la negacin del Alguno es Ninguno. Esto es muy til en matemtica y en computacin, por ejemplo si queremos demostrar que no es cierto que todas las funciones integrables sean continuas, basta encontrar una que sea integrable y que no sea contina.
ALGO MS DE INDUCCIN El mtodo deductivo, muy usado en matemtica, obedece a la siguiente idea: A partir de un cierto conjuntos de axiomas aceptados sin demostracin y de reglas lgicas no contradictorias, se deducen otros enunciados llamados teoremas combi-nando los axiomas y respetando en cada etapa las reglas lgicas. Otro mtodo para demostrar resultados generales que dependen en algn sentido de los nmeros naturales es conocido con el nombre de Induccin Matemtica. Esta dependencia de los nmeros naturales signica: se sabe que una determinada armacin es verdadera para algunos casos particulares y surge la pregunta.
Dicha armacin sigue siendo verdadera para los innitos nmeros naturales restante?. Existen muchas armaciones que slo son vlidas para un nmero nito de casos y en consecuencia son falsas para un nmero innitos de situaciones. Sin embargo, podemos encontrar proposiciones armaciones que son verdaderas slo a partir de un cierto nmero natural n 0 , de ser asi, la tcnica que se desarrollaremos se llama Induccin Incompleta.
Para demostrar que una proposicin P n , n M N, es verdadera es necesario comprobar la validez de ella para todos los elementos del conjunto M. Si se requiere demostrar la falsedad de una cierta proposicin P n , n M N, es suciente indicar un elemento particular m M de manera que P m sea falsa.
Construccin de un contra ejemplo. Ntese que ste ejemplo sencillo muestra que una proposicin puede ser verdadera para los primeros nmeros naturales, sin embargo, es falsa, para nmeros naturales ms grandes.
No es divisible por 5. Se podra esperar que este polinomio cuadrtico contine generando nmeros primos. Paso 2: hiptesis de induccin. Se supone que P k es verdadera, donde k es un nmero natural cualesquiera. Paso 3: tesis de induccin. La tcnica de Induccin Matemtica consiste en los tres pasos anteriores. Si se necesita demostrar la validez de una proposicin P n para todos los valores naturales n, entonces es suciente que se cumplan: Paso 1, Paso 2 y Paso 3.
Comentario: Intuitivamente la idea anterior se conoce con el nombre de Efecto Domin. Si imaginamos una la innita de chas de domin: dispuestas verti-calmente y sucientemente prximas una cualquiera de la siguiente , entonces si el volteamiento de la primera cha provoca el volteamiento de la segunda cha, por el Principio de Induccin Matemtica la la completa es volteada.
Existen dos variantes tiles sobre el Principio de Induccin Matemtica que deben ser considerados. Paso 2: hiptesis inductiva. Ntese que si P k es falsa, la implicacin es verdadera, de modo que hay que hacer la demostracin suponiendo que P k es verdadera. Ejemplo 6: Probar que neN: 1. Hiptesis inductiva: 1. Luego la frmula 1. Ejemplo 7: determinar si el producto de 3 nmeros impares consecutivos es siempre divisible por6.
Queremos determinar si P n se cumple neN. Luego P 1 es falso. Se puede continuar analizando P 2 , P 3 , P 4 y vemos que todos no cumplen con la condicin que sea divisible por 6. Ejemplo 8: determine si la suma de tres nmeros enteros consecutivos es siempre divisible por 6.
La suma de 3 enteros consecutivos no es necesariamente divisible por 6. En efecto: 1. Luego 1. Antes de aplicar induccin convienen hacer un cambio de ndices. Y nuestro enunciado se transforma en: 7 2i-1 es divisible por 8, ieN.
Ejercicios resueltos. Demostracin: sea P n , 1. Hiptesis inductiva: P k verdadera, es decir. Dado que nuestra nica informacin es la hiptesis debemos hacer que la expresin k 5 -k, aparezca en nuestro desarrollo. Sean a, b, c, r, s, y t nmeros enteros fijos. La sucesin de Lucas. Puede ser descompuesta en billetes mltiplo de cinco mil pesos de dos mil pesos. Sumas y productos El simboloE se llama Sigama en el alfabeto griego y en espaol corresponde a la letra S.
Col el smbolo E i 2 , se desea indicar la suma de los trminos de la forma i 2 para varios valores enteros de i. Finalmente cualquier funcin f i puede ser utilizada en lugar de i 2 , es decir Ejemplo: 1. Cerrar sugerencias Buscar Buscar. Saltar el carrusel. Carrusel anterior. Carrusel siguiente. Explora Audiolibros. Explora Revistas.
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